Question

18．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则函数f（x）与y=a（x+1）的图象有三个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．

解答 解：若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，
等价于函数f（x）与y=a（x+1）的图象有三个不同的交点，
由f（x+1）=f（x-1），得f（x+2）=f（x），即函数的周期为2，且为偶函数，
故函数f（x）的图象如图所示：

由于直线y=a（x+1）过定点B（-1，0），
当直线过点A（1，2）时，a=1，恰好不满足条件．
当直线过点A（-2，0）时，a=$\frac{1}{2}$，恰好满足条件．
数形结合可得实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1），
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属于中档题．