题目内容
1.数列{an},Sn为前n项和,Sn=2n-1.(1)求a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$;
(2)求a1+a3+…+a2n-1.
分析 (1)利用递推关系可得an,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.
(2)由(1)可得:a2n-1=22n-2=4n-1,利用(1)的结论即可得出.
解答 解:(1)∵Sn=2n-1,∴当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时也成立,∴an=2n-1.
∴${a}_{n}^{2}$=22n-2=4n-1.
∴数列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等比数列,首项为1,公比为4.
∴a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}({4}^{n}-1)$.
(2)由(1)可得:a2n-1=22n-2=4n-1,
∴a1+a3+…+a2n-1=$\frac{1}{3}({4}^{n}-1)$.
点评 本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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