题目内容
13.已知函数f(x)=1nx-ax2(a∈R).(1)当a=$\frac{1}{2}$时,求函数f(x)在[$\frac{1}{2}$,2]上的最值;
(2)探究函数f(x)的单调性.
分析 (1)求出导数,求得单调区间,求得极小值也为最小值,再比较端点的函数值,即可得到最大值;
(2)求出导数并分解因式,对a讨论,当a≤0时,当a>0时,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间,注意x>0的限制.
解答 解:(1)函数f(x)=1nx-$\frac{1}{2}$x2的导数为
f′(x)=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{(1-x)(1+x)}{x}$,
在[$\frac{1}{2}$,1)上f′(x)>0,f(x)递增,在(1,2]上f′(x)<0,f(x)递减,
则f(1)取得最小值,且为-$\frac{1}{2}$,
f($\frac{1}{2}$)=ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$,f(2)=ln2-2,f($\frac{1}{2}$)>f(2),
即有f($\frac{1}{2}$)取得最大值,且为ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$;
(2)函数f(x)=1nx-ax2(a∈R)的导数为
f′(x)=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$,(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0恒成立,即有f(x)在(0,+∞)递增;
当a>0时,f′(x)=$\frac{(1-\sqrt{2a}x)(1+\sqrt{2a}x)}{x}$,
由f′(x)>0,可得0<x<$\frac{1}{\sqrt{2a}}$,由f′(x)<0,可得x>$\frac{1}{\sqrt{2a}}$,
即有f(x)在(0,$\frac{1}{\sqrt{2a}}$)递增,在($\frac{1}{\sqrt{2a}}$,+∞)递减.
点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查分类讨论的思想方法和运算能力,属于中档题.