Question

【题目】平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．

Answer 1

【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．

【解析】

试题（1）先利用加减消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，再利用，得直线的极坐标方程，最后根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，（2）先根据点斜式写出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求．

试题解析：（1）将，代入直线方程得，

由可得，

曲线的直角坐标方程为．

（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，

∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得

，设点对应的参数分别为．

由一元二次方程的根与系数的关系知，，

∴ ．