题目内容
【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为
,
,左、右焦点分别为
,
,离心率为
,点
,
为线段
的中点.
()求椭圆
的方程.
()若过点
且斜率不为
的直线
与椭圆
交于
、
两点,已知直线
与
相交于点
,试判断点
是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)点
在定直线
上.
【解析】
试题分析: (Ⅰ)求椭圆标准方程,一般方法为待定系数法,即根据条件建立关于的两个独立条件,再与
联立方程组,解出
的值,(Ⅱ)先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线
,再根据条件证明点
横坐标为1.由题意设
两点坐标,用
两点坐标表示点
横坐标.根据直线
方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得
两点坐标关系(用直线
斜率表示),并代入点
横坐标表达式,化简可得为定值.
试题解析: (Ⅰ)设点,由题意可知:
,即
①
又因为椭圆的离心率,即
②
联立方程①②可得:,则
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)方法一:根据椭圆的对称性猜测点是与
轴平行的直线
上.
假设当点为椭圆的上顶点时,直线
的方程为
,此时点
,
则联立直线和直线
可得点
据此猜想点在直线
上,下面对猜想给予证明:
设,联立方程
可得:
由韦达定理可得,
(*)
因为直线,
,
联立两直线方程得(其中
为
点的横坐标)即证:
,
即,即证
将(*)代入上式可得
此式明显成立,原命题得证.所以点在定直线上
上.
方法二:设,
两两不等,
因为三点共线,所以
,
整理得:
又三点共线,有:
①
又三点共线,有:
② 将①与②两式相除得:
即,
将即
代入得:
解得(舍去)或
,所以点
在定直线
上.
方法三:显然与
轴不垂直,设
的方程为
,
.
由得
.
设,
两两不等,
则,
,
由三点共线,有:
①
由三点共线,有:
②
①与②两式相除得:
解得(舍去)或
,所以点
在定直线
上.
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