Question

3．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，求曲线E的方程．

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，确定P的轨迹为椭圆，即可求曲线E的方程．

解答 解：以AB所在直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），
由题意，可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2$\sqrt{2}$，
∴P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且2a=2$\sqrt{2}$，c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义用，考查学生的计算能力，属于中档题．