题目内容

8.已知向量$\overrightarrow a$=(cos$\frac{3x}{2}$,sin$\frac{3x}{2}$),$\overrightarrow b$=(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$),且x∈[0,$\frac{π}{2}$].
(Ⅰ)用cosx表示$\overrightarrow a•\overrightarrow b$及|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|;
(Ⅱ)求函数f(x)=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$+2|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|的最小值.

分析 (Ⅰ)由平面向量数量积的运算可得$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2cos2x-1,|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=2|cosx|,结合x的范围,即可得解.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2(cosx+1)2-3,结合x的范围即可求得最小值.

解答 解:(Ⅰ)$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$cos\frac{3x}{2}$$cos\frac{x}{2}$-$sin\frac{3x}{2}$$sin\frac{x}{2}$=cos2x=2cos2x-1,----(2分)
|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{{{({cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}})}^2}+{{({sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}})}^2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2|cosx|,
∵$x∈[0,\frac{π}{2}]$,∴cosx≥0,
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=2cosx.-----(5分)
(Ⅱ)f(x)=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$+2|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=2cos2x-1+4cosx=2(cosx+1)2-3,-------(7分)
∵$x∈[0,\frac{π}{2}]$,
∴0≤cosx≤1,
∴当cosx=0时,f(x)取得最小值-1.-------(10分)

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数公式的应用,余弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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