Question

7．已知A={（x，y）|y=ax+b}，B={（x，y）|y=3x²+15}，C={（x，y）|x²+y²+12y≤180}，问是否存在a，b∈R使得下列两个命题同时成立：
（1）A∩B≠∅；
（2）（a，b）∈C．

Answer 1

分析 由集合A和B交集不为空集，可联立两集合中的两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，此方程有解，得到根据的判别式大于等于0，列出关于a与b的不等式，记作①，又（a，b）属于集合C，把（a，b）代入集合C中的不等式得到关于a与b的不等式，记作②，由不等式的性质得到b²≤0，进而得到b=0，把b的值代入①和②可求出a的值，进而求出A∩B≠φ 和（a，b）∈C同时成立时a与b的值．

解答 解：联立方程得方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=3{x}^{2}+15}\end{array}\right.$，消去y得方程3x²-ax+15-b=0．
要满足条件（1），需要△=a²-12（15-b）≥0，①
要满足条件（2），需要a²+b²+12b≤180，即a²≤180-12b-b²，②
联立①②得：180-12b-b²≥12（15-b），即b²≤0，
∴b=0，
代入①，②得180≤a²≤180，
∴a²=180，∴a=±$6\sqrt{5}$，
∴当a=±6$\sqrt{5}$且b=0时，A∩B≠∅和（a，b）∈C同时成立．

点评 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，元素与集合的关系，以及交集、空集的意义，解题时注意运用完全平方式为非负数，以及不等式的基本性质来解决问题，是中档题．