题目内容
6.已知函数f(x)=$\frac{1+cos2x}{2sin(\frac{π}{2}-x)}$+sinx+a2sin(x+$\frac{π}{4}$).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)若函数y=f(x)的最小值为-$\sqrt{2}$-4,试确定常数a的值.
分析 (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=(a2+$\sqrt{2}$)sin(x+$\frac{π}{4}$),由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z可解得函数y=f(x)的单调递增区间.
(2)由(1)及题意可得:-(a2+$\sqrt{2}$)=-$\sqrt{2}$-4,从而解得a的值.
解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{1+cos2x}{2sin(\frac{π}{2}-x)}$+sinx+a2sin(x+$\frac{π}{4}$)=cosx+sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a2(sinx+cosx)=($\frac{\sqrt{2}}{2}$a2+1)(sinx+cosx)=(a2+$\sqrt{2}$)sin(x+$\frac{π}{4}$).
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z可解得函数y=f(x)的单调递增区间为:[2k$π-\frac{3π}{4}$,2k$π+\frac{π}{4}$],k∈Z.
(2)∵sin($\frac{π}{2}$-x)≠0,解得:x≠$\frac{π}{2}$-kπ,k∈Z,
∴由(1)及题意可得:当x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时,即x=2kπ$-\frac{3π}{4}$时,有:-(a2+$\sqrt{2}$)=-$\sqrt{2}$-4,
∴解得:a=±2.
点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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C. | 假设a,b,c,d中至多有一个小于0 | D. | 假设a,b,c,d中至多有两个大于0 |