Question

18．已知集若S满足若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S．请解答下列问题：
（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
（2）求证：若a∈S，则1-$\frac{1}{a}$∈S；
（3）在集合S中，元素能否只含有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件2∈S，便可得出$\frac{1}{1-2}=-1∈S$，同样可得出$\frac{1}{1-（-1）}∈S$，这样就得出了这两个数；
（2）根据条件a∈S时，得到$\frac{1}{1-a}∈S$，同样得到$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}∈S$，而化简便得到$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=1-\frac{1}{a}$；
（3）可假设S只有一个元素a，根据条件，便有$\frac{1}{1-a}∈S$，从而有$a=\frac{1}{1-a}$，容易判断解不出a，从而得到集合S不能只含一个元素．

解答 解：（1）根据条件，若2∈S，则$\frac{1}{1-2}=-1∈S$，$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}∈S$；
∴这两个数分别为：-1，$\frac{1}{2}$；
（2）证明：若a∈S，则$\frac{1}{1-a}∈S$；
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=1-\frac{1}{a}∈S$；
（3）若集合S只有一个元素a，则：
$a=\frac{1}{1-a}$；
整理得：a²-a+1=0；
∵△=1-4＜0；
∴上面方程无解；
即$a≠\frac{1}{1-a}$；
∴集合S中的元素不能只有一个．

点评 考查集合与元素的概念，以及元素与集合的关系，一元二次方程的解和判别式△的关系．