Question

5．数列{a_n}的通项公式为{a_n}=n，若数列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项的和为$\frac{12}{7}$，则n的值为6．

Answer 1

分析 通过a_n=n、裂项可知$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加、计算即得结论．

解答 解：∵a_n=n，
∴$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴记数列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项的和为S_n，则
S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$，
又∵S_n=$\frac{12}{7}$，即$\frac{2n}{n+1}$=$\frac{12}{7}$，
解得：n=6，
故答案为：6．

点评 本题考查数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．