Question

4．函数$f（x）=\frac{1}{x（1-x）}$的单调增区间为[$\frac{1}{2}$，1）和（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：由x（1-x）≠0得x≠0且x≠1，即函数的定义域为{x|x≠0且x≠1}，
设t=x（1-x）=-x²+x，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，则函数等价y=$\frac{1}{t}$，
由t=x（1-x）＞0得0＜x＜1，此时y=$\frac{1}{t}$为减函数，
要求函数f（x）的单调递增区间，则求函数t=x（1-x）在0＜x＜1上的递减区间，
∵当$\frac{1}{2}$≤x＜1时，函数t=x（1-x）单调递减，此时函数f（x）的单调递增区间为[$\frac{1}{2}$，1）．
由t=x（1-x）＜0得x＞1或x＜0，此时y=$\frac{1}{t}$为减函数，
要求函数f（x）的单调递增区间，则求函数t=x（1-x）在x＞1或x＜0的递减区间，
∵当x＞1时，函数t=x（1-x）单调递减，此时函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
∴函数的单调递增区间为[$\frac{1}{2}$，1）和（1，+∞）．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）和（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．注意要对分母进行讨论．