题目内容
【题目】已知抛物线上一点
的纵坐标为4,且点
到焦点
的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设斜率为的两条平行直线
分别经过点
和
,如图.
与抛物线
交于
两点,
与抛 物线
交
两点.问:是否存在实数
,使得四边形
的面积为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)由抛物线定义知,点到抛物线
的准线的距离为5,据此计算可得
,则抛物线的方程为
.
(2)设直线的方程为:
.联立直线方程与抛物线方程有
,结合弦长公式可得
.同理可得
,利用平行线直接距离公式可得四边形
的高为
,结合面积公式可得关于斜率的方程
求解方程可得满足条件的
的值为
.
试题解析:
(1)由抛物线定义知,点到抛物线
的准线的距离为5.
∵抛物线的准线为
,∴
,
解得,∴抛物线的方程为
.
(2)由已知得,直线.
由 消去
得
,
这时, 恒成立,
.
同理,直线,由
消去
得
,
由得
,
,
又∵直线间的距离
,
则四边形的面积
.
解方程得,
有唯一实数解2 (满足大于1),
∴满足条件的的值为
.
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