题目内容
【题目】已知椭圆C： 
经过点
，且离心率为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线
： 
与椭圆C交于两个不同的点A，B，求
面积的最大值（O为坐标原点）．
【答案】(1) 
；(2) 
.
【解析】【试题分析】（1）将
点坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率和
，列方程组，求出
的值.由此求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理和判别式.根据弦长公式和点到直线距离公式，求得
面积的表达式，最后利用基本不等式求最大值.
【试题解析】
（1）由题意，知
考虑到
，解得
所以，所求椭圆C的方程为
.
（2）设直线
的方程为
，代入椭圆方程
，
整理得
.
由
，得
. ①
设
， 
，则
， 
.
于是
.
又原点O
到直线AB： 
的距离
.
所以
.
因为
，当仅且当
，即
时取等号.
所以
，即
面积的最大值为
.
【题目】已知一工厂生产了某种产品700件，该工厂对这些产品进行了安全和环保这两个性能的质量检测。工厂决定利用随机数表法从中抽取100件产品进行抽样检测，现将700件产品按001，002，…,700进行编号；
（1）如果从第8行第4列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3件产品的编号；
（下面摘取了随机数表的第7～9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
（2）抽取的100件产品的安全性能和环保性能的质量检测结果如下表：
检测结果分为优等、合格、不合格三个等级，横向和纵向分别表示安全性能和环保性能。若在该样本中，产品环保性能是优等的概率为
，求
，
的值。
件数 | 环保性能 | |||
优等 | 合格 | 不合格 | ||
安全性能 | 优等 | 6 | 20 | 5 |
合格 | 10 | 18 | 6 | |
不合格 |
| 4 |
| |
（3）已知
，
，求在安全性能不合格的产品中，环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率。
