题目内容
【题目】设中心在原点,焦点在轴上的椭圆
过点
,且离心率为
.
为
的右焦点,
为
上一点,
轴,
的半径为
.
(1)求和
的方程;
(2)若直线与
交于
两点,与
交于
两点,其中
在第一象限,是否存在
使
?若存在,求
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1) 的方程为
.
的方程为
.(2) 满足题设条件的直线
不存在.理由见解析
【解析】
(1)利用待定系数法求出椭圆与圆的方程;
(2)若,则
.联立方程,利用韦达定理可得
,显然与题意矛盾,故不存在.
(1)设椭圆的方程为
.
由,从而得
,从而
,即
.
又椭圆过点,从而得
,解得
,
,
从而所求椭圆的方程为
.
所以,令
,得
,
所以的方程为
.
(2)不存在,理由如下:
若,则
.
联立,整理,得
.
设、
,则
.
从而
由,从而
,从而
,矛盾.
从而满足题设条件的直线不存在.
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.
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(参考公式:,
)