Question

【题目】已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；

（1）求线段AB中点M的轨迹方程；

（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.

（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）

Answer 1

【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）

【解析】

（1）设出A，M坐标，利用M为线段AB中点，确定A，M坐标之间的关系，根据点A在圆上运动，可得线段AB中点M的轨迹方程；（2）当时，弦长最短，从而得到直线m的方程；（3）设点，则，令，由直线与圆的位置关系得到的取值范围.

（1）解：设点

由中点坐标公式有

又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：

点的轨迹方程为：

（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即

当时，弦长最短，

此时圆的面积最小，圆的半径，面积

又，所以直线斜率，又过点

故直线的方程为：

（3）设点，由于点

法一：所以，令

有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.

当直线与圆相切时，取得最大或最小

故有

所以

法二：

∴从而