Question

1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H分别是CD、DA上的点，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$DC，求证：直线EH，FG和BD共点．

Answer 1

分析 由已知得EF与GH平行且不相等，从而E、F、G、H四点共面，且EH∩FG=O，由此利用公理二能证明直线EH，FG和BD共点．

解答 证明：∵在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，
G、H分别是CD、DA上的点，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$DC，
∴GH∥AC，且GH=$\frac{1}{3}$AC，
EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}AC$，
∴EF与GH平行且不相等，
∴E、F、G、H四点共面，∴EH∩FG=O，如图，
∵E，H∈平面ABD，F，G∈平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，
∴O∈BD，∴直线EH，FG和BD共点．

点评 本题考查三线共点的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．