Question

【题目】已知数列的前项和为，，且时，数列满足，，对任意，都有.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）根据，变形为，用累乘法求解，根据，且，利用等比中项得到数列是等比数列，求得通项.

（2）用等差数列的前n项和公式求得，用错位相减法求得， 再根据不等式，对任意的恒成立，转化为恒成立，令求其最大值即可.

（1）当时，，即.

，

又，也满足上式，故数列的通项公式.

由，且，知数列是等比数列，其首项公比均为，

∴数列的通项公式，

（2）.

<1>，

<2>，

由<1>-<2>，得，

，

，

因为不等式，对任意的恒成立，

即，对任意的恒成立，

即恒成立.

即恒成立，

令.

则，

因为，所以单调递增且大于0，

所以 单调递增，

当时，，且，故，

所以实数的取值范围是.