Question

【题目】已知函数为自然对数的底数.

（1）求函数的极值；

（2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极大值为1，无极小值（2）

【解析】

（1）先求出，得知当所以当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，从而求得函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，从而求得函数的极值；

（2）假设存在实数，使得成立，则，，分别讨论①当时，②当时，③当时的情况，从而求得的范围.

（1）函数的定义域：，，

所以当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，

故f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减

所以，无极小值．

（2）若存在实数，使得成立，则

由可得

①当时，≤0，在[0,1]上单调递减，

∴，即；

②当时，>0，在[0,1]上单调递增，

∴，即；

③当时，

时，，单调递减；时，，单调递增，

，由于，故

，由（1）知，所以

故不可能成立；

综上所述，实数的取值范围是．