Question

【题目】已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．
（1）判断曲线C的形状；
（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；
（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：将曲线C的方程化为 ）

可知曲线C是以点（a， ）为圆心，以 为半径的圆

（2）解：△AOB的面积S为定值．

证明如下：

在曲线C的方程中令y=0得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），

在曲线C的方程中令x=0得y（ay﹣4）=0，得点B（0， ），

∴S= |OA||OB|= |2a|| |=4（为定值）．

（3）解：∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，

∴圆心（a， ）在MN的垂直平分线上，∴ = ，∴a=±2，

当a=﹣2时，圆心坐标为（﹣2，﹣1），圆的半径为 ，

圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离d= = ＞ ，

直线l与圆C相离，不合题意舍去，

∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0

【解析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；（2）求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；（3）由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心（a， ）在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=﹣2不合题意即可．