题目内容
【题目】设函数f(x)为R上的奇函数,已知当x>0时,f(x)=﹣(x+1)2 . (Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(m2+2m)+f(m)>0,求m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵函数f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,
若x<0,则﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=﹣(x+1)2.
∴当﹣x>0时,f(﹣x)=﹣(﹣x+1)2=﹣(x﹣1)2.
∵f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣(x﹣1)2=﹣f(x),
则f(x)=(x﹣1)2,x<0,
则函数f(x)的解析式f(x)= ;
(Ⅱ)若f(m2+2m)+f(m)>0,
则f(m2+2m)>﹣f(m)=f(﹣m),
当x>0时,f(x)=﹣(x+1)2为减函数,且f(x)<﹣1<f(0),
当x<0时,f(x)=(x﹣1)2为减函数,且f(x)>1>f(0),
则函数f(x)在R上是减函数,
则m2+2m<﹣m,
即m2+3m<0,
则﹣3<m<0,
即m的取值范围是(﹣3,0).
【解析】(Ⅰ)根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可.(Ⅱ)根据条件判断函数的单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点,需要掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇才能正确解答此题.
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