题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求证：
恒成立；
（2）若关于
的方程
至少有两个不相等的实数根，求实数
的最小值.
【答案】（1）见证明；（2）3
【解析】
（1）当
时，
，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；（2）将方程
转化为
，构造函数
，求导数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得
的最小值
（1）证明：当时，，
，
令
，所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，单调递减.
故
，所以
.
（2） 
至少有两个根，
记
，所以
，
记
，所以
，
令
舍）
所以当
，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以的最小值为
，
又
，所以时，
，
又当
时，
，因此必存在唯一的
，使得
.
因此
时，，
单调递増，
，
，单调递减，时，，单调递増，画出
的大致图象，如图所示
因此当
时，
与至少有两个交点，
所以的最小值为
.
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.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有
的把握认为“围棋迷”与性别有关？
非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为
。若每次抽取的结果是相互独立的，求
的平均值和方差.
附： 
，其中
.
| 0.05 | 0.01 |
| 3.841 | 6.635 |
