题目内容

1.已知数列{an}的首项a1=1,an+1=$\frac{4{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$,n∈N*
(1)证明:数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$}是等比数列;
(2)求数列{$\frac{2n}{{a}_{n}}$}的前n项和Sn

分析 (1)将递推公式化为:$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2})$,利用等比数列的定义判断出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}$}是等比数列;
(2)由(1)和等比数列的通项公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}$,再求出通项公式$\frac{2n}{{a}_{n}}$,利用分组求和法、裂项相消法和等比数列的前n项和公式求出Sn

解答 证明:(1)由题意得,an+1=$\frac{4{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$,n∈N*
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+2}{{4a}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{4}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2})$,即$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$,
又a1=1,则$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,
所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、公比的等比数列;
解:(2)由(1)可得,$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}•(\frac{1}{2})^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$,
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$,
∴$\frac{2n}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}+\frac{2n}{2}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}+n$,
设S=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n-1}}$    ①,
$\frac{1}{2}S$=$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$     ②,
①-②得,$\frac{1}{2}$S=1+$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$,
∴S=$4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$,
∴Sn=S+(1+2+3+…+n)=$4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n(1+n)}{2}$.

点评 本题考查了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式,以及分组求和法、裂项相消法、构造法的应用,属于中档题.

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