题目内容
【题目】已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）ex ．
（1）当a=﹣ 
时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当﹣ 
＜a＜﹣ 
时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．
【答案】
（1）解：当a= 
时，f（x）= x2+（x﹣1）ex，
∴f（1）= ，
f′（x）=﹣（e+1）x+xex，∴f′（1）=﹣1
切线方程为：y+ =﹣（x﹣1），
即：2x+2y+e﹣1=0
（2）解：f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a）
①当2a≥0即a≥0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
②当﹣ 
＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，
在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
③当a=﹣ 时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
④当a＜﹣ 时，f（x）在（﹣∞，0））上单调递增，
在（0，ln（﹣2a））上单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增
（3）解：由（2）知，当﹣ ＜a＜﹣ 
＜0时，
f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2），
f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1） 
﹣1
∵x1=ln（﹣2a），∴a=﹣ ，
∴f（x1）+f（x2）=﹣ x12+（x1﹣1） ﹣1= （﹣ x12+x1﹣1）﹣1
∵﹣ ＜a＜﹣ ，∴ 
＜﹣2a＜1，∴﹣1＜x1=ln（﹣2a）＜0，
令（x）=ex （﹣ x2+x﹣1）﹣1（﹣1＜x＜0）
∴′（x）=ex （﹣ 
x2）＜0∴（x）在（﹣1，0）单调递减
∴（0）＜（x）＜（﹣1）
即﹣2＜（x）＜﹣ 
﹣1
∴所有极值的和的取值范围为（﹣2，﹣ 
）
【解析】（1）当a= 时，求出f′（x）=﹣（e+1）x+xex ， 利用导数的几何意义能出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a），由此根据a≥0，﹣ ＜a＜0，a=﹣ ，a＜﹣ ，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．（3）推导出x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1） ﹣1，由此利用导性质能求出所有极值的和的取值范围．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数
的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值．
