题目内容
【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m
(1)作函数f(x)的图象
(2)若a2+b2+2c2=m,求ab+2bc的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|= ,
由分段函数的图象画法可得图象如右
(2)解:由(1)知,当x=﹣ 时,f(x)的最大值为
,即m=
;
∴a2+b2+2c2= ,
设a2+b2+2c2=a2+tb2+(1﹣t)b2+2c2≥2 ab+2
bc,
令2 :2
=1:2,即8(1﹣t)=16t 得:t=
,
∴a2+b2+2c2=a2+ b2+
b2+2c2≥2
ab+4
bc=
(ab+2bc)
∴ab+2bc≤ (a2+b2+2c2)=
(当且仅当a2=c2=
,b2=
时取“=”号)
【解析】(1)讨论x的范围:x≤﹣ ,﹣
<x≤1,x≥1,去掉绝对值,写出分段函数的形式,画出图象;(2)通过图象可得最大值m,设a2+b2+2c2=a2+tb2+(1﹣t)b2+2c2≥2
ab+2
bc,令2
:2
=1:2,求出t的值,即可得到所求最大值.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.
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