Question

19．已知在平面内点P到两定点${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=-ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$（其中O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析 （1）通过设点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，利用2a=24、c=$\sqrt{3}$，计算即得结论；
（2）通过（1）可知$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，与椭圆方程联立，利用韦达定理、化简$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵|PF₁|+|PF₂|=4（|F₁F₂|＜4），
∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点，长轴长为4的椭圆．…（2分）
设P（x，y），则轨迹方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，…（3分）
∴$a=2，c=\sqrt{3}$．
又∵b²=a²-c²，
∴b=1…（5分）
∴点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴直线$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得${x^2}+4{（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m）^2}=4$，
整理得${x^2}-\sqrt{3}x+{m^2}-1=0$…（8分）
∴$△={（-\sqrt{3}m）^2}-4（{m^2}-1）=4-{m^2}＞0$…（9分）
${x_1}+{x_2}=\sqrt{3}m，{x_1}{x_2}={m^2}-1$…（11分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+m）（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}+m）$
=$\frac{7}{4}{x_1}{x_2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=$\frac{7}{4}（{m^2}-1）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m•\sqrt{3}m+{m^2}$
=$\frac{5}{4}{m^2}-\frac{7}{4}$…（12分）
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，
∴$\frac{5}{4}{m^2}-\frac{7}{4}=2$，
∴$m=±\sqrt{3}$．代入①得△＞0，满足题意，
∴所求实数m的值为$±\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．