Question

7．椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）斜率为$\frac{b}{a}$的直线与椭圆C交于A、B两点（如图），AB中点为M，MA中点时椭圆C的右焦点F，求椭圆C的离心率e．

Answer 1

分析 通过将直线AB方程y=$\frac{b}{a}$x-$\frac{bc}{a}$与椭圆方程联立，利用韦达定理可知x_A+x_B=c，进而y_A+y_B=-$\frac{bc}{a}$，进而点M坐标为（$\frac{c}{2}$，-$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$），通过设A（x，y），利用MA的中点是椭圆C的右焦点F可知，A（$\frac{3}{2}$c，$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$），再代入椭圆方程计算即得结论．

解答 解：依题意，直线AB方程为：y=$\frac{b}{a}$x-$\frac{bc}{a}$，
并与椭圆方程联立，消去y整理得：
2x²-2cx-b²=0，
∴x_A+x_B=c，
∴y_A+y_B=$\frac{b}{a}$（x_A+x_B）-2•$\frac{bc}{a}$=$\frac{b}{a}$•c-2•$\frac{bc}{a}$=-$\frac{bc}{a}$，
∴x_M=$\frac{1}{2}$（x_A+x_B）=$\frac{c}{2}$，y_M=$\frac{1}{2}$（y_A+y_B）=-$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$，
∴点M坐标为（$\frac{c}{2}$，-$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$），
设A（x，y），由MA的中点是椭圆C的右焦点F可知，
$\frac{\frac{c}{2}+x}{2}$=c，且$\frac{-\frac{bc}{2a}+y}{2}$=0，
解得：x=$\frac{3}{2}$c，y=$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$，
又∵点A在椭圆上，
∴$\frac{（\frac{3c}{2}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{bc}{2a}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理得：$\frac{5}{2}$•$（\frac{c}{a}）^{2}$=1，
∴$（\frac{c}{a}）^{2}$=$\frac{2}{5}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．