Question

7．直线经过点P（8，8），圆C：（x-4）²+y²=16．
（1）若l与圆相切，求直线l的方程；
（2）若l与圆相交于A，B两点且CA⊥CB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用圆心到直线的距离d=r，求出k，即可求直线l的方程；
（2）CA⊥CB，C到l的距离=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$=4$\sqrt{2}$，圆心到直线的距离公式，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）直线的斜率不存在时，直线的方程为x=8，满足题意；
直线的斜率存在时，设方程为y-8=k（x-8），即kx-y-8k+8=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|4k-8k+8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为y-8=$\frac{3}{4}$（x-8），即3x-4y+8=0；
（2）∵CA⊥CB，
∴C到l的距离=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$=4$\sqrt{2}$，
设方程为y-8=k（x-8），即kx-y-8k+8=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|4k-8k+8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{2}$，∴k=-2±$\sqrt{6}$，
∴直线l的方程为y-8=（-2±$\sqrt{6}$）（x-8）．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离的公式的运用，属于中档题．