Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$的定义域为（0，+∞），（a=2.71828..-自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数y=f（x）在[m，m+2〕（m＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数g（x）=2tlnx+$\frac{t}{x}$+t的图象的上方，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）求证：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i{e}^{2i}}$＜$\frac{7}{8e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对函数f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$求导，可得f（x）的单调性，再分$m≤\frac{1}{2}≤m+2$，即$0＜m≤\frac{1}{2}$时，与$m＞\frac{1}{2}$时，讨论即可；
（Ⅱ）构造F（x）=f（x）-g（x），通过对F′（x）的正负情况的讨论得F（x）的单调性，从而可得$t≤\frac{1}{2}{e}^{2}$；
（Ⅲ）由（I）可知，当x＞0时，f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}≥2e$，变形得$\frac{1}{n{e}^{2n}}=\frac{n}{{n}^{2}{e}^{2n}}≤\frac{1}{{n}^{2}}•\frac{1}{2e}$，利用放缩法即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{{e}^{2x}（2x-1）}{{x}^{2}}$，
∴当2x-1＞0，即$x＞\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，于是f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增；
当2x-1＜0，即$x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，于是f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上单调递减；
∵m＞0，∴m+2＞2，分情况讨论：
①$m≤\frac{1}{2}≤m+2$，即$0＜m≤\frac{1}{2}$时，f（x）在$（m，\frac{1}{2}）$上单调递减，
在$（\frac{1}{2}，m+2）$上单调递增，所以f_min（x）=$f（\frac{1}{2}）=2e$；
②当$m＞\frac{1}{2}$时，f（x）在[m，m+2]上单调递增，所以f_min（x）=f（m）=$\frac{{e}^{2m}}{m}$；
综上所述，当$0＜m≤\frac{1}{2}$时，f_min（x）=2e；当$m＞\frac{1}{2}$时，f_min（x）=$\frac{{e}^{2m}}{m}$；
（Ⅱ）构造F（x）=f（x）-g（x） （x＞1），由题意，
得F（x）=$\frac{{e}^{2x}-t}{x}-2tlnx-t＞0$（x＞1），
F′（x）=$\frac{2x{e}^{2x}-{e}^{2x}+t}{{x}^{2}}-\frac{2t}{x}$=$\frac{（2x-1）（{e}^{2x}-t）}{{x}^{2}}$（x＞1），
①当t≤e²时，e^2x-t≥0成立，则x＞1时，F′（x）≥0，即F（1）=e²-2t≥0，即$t≤\frac{1}{2}{e}^{2}$；
②当t＞e²时，F′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}lnt$，
∴F（x）在（1，$\frac{1}{2}lnt$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}lnt$，+∞）上单调递增，
所以F_min（x）=$f（\frac{1}{2}lnt）$=$-2ln（\frac{1}{2}lnt）-t＜0$，故不成立；
综上所述：$t≤\frac{1}{2}{e}^{2}$；
（Ⅲ）由（I）可知，当x＞0时，f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}≥2e$，
则$\frac{x}{{e}^{2x}}≤\frac{1}{2e}\\;（x＞0）$，所以$\frac{1}{n{e}^{2n}}=\frac{n}{{n}^{2}{e}^{2n}}≤\frac{1}{{n}^{2}}•\frac{1}{2e}$，
从而$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i{e}^{2i}}$=$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{2（{e}^{2}）^{2}}+\frac{1}{3（{e}^{2}）^{3}}+…+\frac{1}{n（{e}^{2}）^{n}}$
$≤\frac{1}{2e}（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$
＜$\frac{1}{2e}（1+\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}+…+\frac{1}{{n}^{2}-1}）$
=$\frac{1}{2e}$[1+$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{2e}[1+\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
＜$\frac{7}{8e}$．

点评 本题考查利用导数判断函数的单调性，放缩法，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．