Question

1．已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4），
（1）求证：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$；
（2）若四边形ABCD为矩形，试确定点C的坐标；
（3）若M为直线OD上的一点，O为坐标原点，当$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值时，求$\overrightarrow{OM}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用向量的坐标运算和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（2）设C（m，n），求得向量BC，DC的坐标，再由向量垂直的条件，解方程即可得到C的坐标；
（3）直线OD的方程为y=-4x，设M（x，-4x），求出向量MA，MB的坐标，再由数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到向量OM的坐标．

解答 （1）证明：A（2，1），B（3，2），D（-1，4），
则$\overrightarrow{AB}$=（1，1），$\overrightarrow{AD}$=（-3，3），
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1×（-3）+1×3=0，
则有$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$；
（2）解：若四边形ABCD为矩形，则$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
设C（m，n），则$\overrightarrow{BC}$=（m-3，n-2），$\overrightarrow{DC}$=（m+1，n-4），
即有$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=（m-3）•（m+1）+（n-2）（n-4）=0，
$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$=m-3+n-2=0，
解得，m=3，n=2（舍去），或m=0，n=5．
即有C0，5）；
（3）解：直线OD的方程为y=-4x，设M（x，-4x），
则$\overrightarrow{MA}$=（2-x，1+4x），$\overrightarrow{MB}$=（3-x，2+4x），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（2-x）（3-x）+（1+4x）（2+4x）=17x²+7x+8
=17（x+$\frac{7}{34}$）²+$\frac{495}{68}$，
当x=-$\frac{7}{34}$时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值．
即有$\overrightarrow{OM}$的坐标为（-$\frac{7}{34}$，$\frac{14}{17}$）．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，同时考查向量的数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，属于中档题．