Question

8．已知a=${∫}_{-1}^{1}$（1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx，则[（a-1-$\frac{π}{2}$）x-$\frac{1}{x}$]⁶展开式中的常数项为-20．

Answer 1

分析 根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．

解答 解：∵a=${∫}_{-1}^{1}$（1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx=x${|}_{-1}^{1}$+$\frac{1}{2}$arcsinx${|}_{-1}^{1}$=2+$\frac{π}{2}$，
∴[（a-1-$\frac{π}{2}$）x-$\frac{1}{x}$]⁶=${（x-\frac{1}{x}）}^{6}$，
其展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•x^6-2r；
令6-2r=0，解得r=3；
∴展开式中常数项为（-1）³•${C}_{6}^{3}$=-20．
故答案为：-20．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是基础题目．