Question

19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{a}{b+2c}$．
（1）求角A的大小；
（2）求sinBsinC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{sinA}{sinB+2sinC}$，解得cosA=-$\frac{1}{2}$，根据A的范围即可解得A的值．
（2）由（1）及三角函数恒等变换的应用可得sinBsinC=$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，由范围0$＜B＜\frac{π}{3}$，可得$\frac{π}{6}＜$2B+$\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质即可解得sinBsinC的最大值．

解答 解：（1）由$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{a}{b+2c}$．得$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{sinA}{sinB+2sinC}$，
∴2cosAsinC=-sin（A+B）=-sinC
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴由A为三角形内角，可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵sinBsinC=sinBsin（$\frac{π}{3}-B$）=$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，
∵0$＜B＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}＜$2B+$\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，
∴当sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1即B=$\frac{π}{6}$时，sinBsinC取得最大值$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质以及三角函数恒等变换的应用，属于中档题．