Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的两焦点为F₁，F₂，椭圆上存在点P，使得F₁P⊥F₂P，则椭圆的离心率e的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由条件知，以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，故有圆的半径大于或等于短半轴的长度．再由离心率公式计算即可的范围．

解答 解：∵F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的焦点，
P是椭圆上一点，且F₁P⊥F₂P，
∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径r=c≥b，
∴e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
即2e²≥1，
∴e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，主要考查椭圆离心率的范围，属于中档题．