题目内容

14.设$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$为两个互相垂直的单位向量,已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$.若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则m+n=(  )
A.1或-3B.-1或3C.2或-4D.-2或4

分析 根据△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形可得出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的关系,用已知向量表示出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$,列出关系式,即可求出答案.

解答 解:∵△ABC是等腰直角三角形,∠A为直角,
∴AB⊥AC,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0;
由已知得,$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$;
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=(m-1)$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$;
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=($\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$)[(m-1)$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$]=m-n-1=0;
即m-n=1;
又△ABC是等腰三角形,
∴AB=AC,$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$;
∵$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}=\sqrt{2}$,
∴$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{{(m-1)}^{2}{+n}^{2}}$=$\sqrt{2}$,得(m-1)2+n2=2;
∵m-n=1,
∴m=n+1,代入方程,得2n2=2,n=±1;
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{m=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=-1}\\{m=0}\end{array}\right.$;
∴m+n=3或m+n=-1.
故答案选:B.

点评 本题考查了平面向量的基本定理,解题的关键是熟练掌握向量的运算法则.

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