Question

14．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为两个互相垂直的单位向量，已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$．若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（　　）

• A． 1或-3
• B． -1或3
• C． 2或-4
• D． -2或4

Answer 1

分析 根据△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形可得出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的关系，用已知向量表示出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$，列出关系式，即可求出答案．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A为直角，
∴AB⊥AC，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0；
由已知得，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$；
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（m-1）$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）[（m-1）$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$]=m-n-1=0；
即m-n=1；
又△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$；
∵$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}=\sqrt{2}$，
∴$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{{（m-1）}^{2}{+n}^{2}}$=$\sqrt{2}$，得（m-1）²+n²=2；
∵m-n=1，
∴m=n+1，代入方程，得2n²=2，n=±1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{m=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=-1}\\{m=0}\end{array}\right.$；
∴m+n=3或m+n=-1．
故答案选：B．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则．