Question

6．已知圆M：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$上一动点P，抛物线C：x²=y上存在两动点A（x₁，y₁），B （x₂，y₂）
（1）若M，A，B三点共线，求$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的值
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，已知|AB|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）（-8k-3）}$（k＜-$\frac{3}{8}$），求点P到直线AB的距离d的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心和半径，设M，A，B所在直线方程为y=k（x-2），代入抛物线方程，运用韦达定理，即可得到所求值；
（2）将直线AB的方程代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合条件可得k，m的关系式，再由圆心到直线AB的距离，结合基本不等式求得最小值，运用最短距离为d=d′-r，即可得到．

解答 解：（1）圆M：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$的圆心M（2，0），半径为r=$\frac{1}{2}$，
设M，A，B所在直线方程为y=k（x-2），
代入抛物线方程y=x²，可得x²-kx+2k=0，
则x₁+x₂=k，x₁x₂=2k，即有$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=2；
（2）直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x²=y，
可得x²-kx-m=0，
判别式为k²+4m＞0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-m，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+4m}$，
又|AB|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）（-8k-3）}$（k＜-$\frac{3}{8}$），
即有k²+4m=-8k-3，即有4m=-3-8k-k²，
圆心M到直线AB的距离为d'=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3+{k}^{2}}{4\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由于k＜-$\frac{3}{8}$，即k²＞$\frac{9}{64}$，d'²=$\frac{1}{16}$[（1+k²）+$\frac{4}{1+{k}^{2}}$+4]
≥$\frac{1}{16}$×（2$\sqrt{4}$+4）=$\frac{1}{2}$，
即有k=±1时，d'²取得最小值$\frac{1}{2}$，d'取得最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则点P到直线AB的距离d的最小值为d'-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题考查圆的方程及运用，以及抛物线的方程和运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式的运用：求最值，属于中档题．