Question

5．已知函数f（x）=2sin（5x+φ）（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0），则φ=$\frac{π}{6}$，现将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍，（纵坐标不变），得到函数g（x），再将函数g（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数h（x），若h（α）=-$\frac{2}{3}$（-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），则sinα的值是-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象的对称性求得φ的值；由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到h（x）的解析式，从而根据h（α）=-$\frac{2}{3}$，求得sinα的值．

解答 解：根据函数f（x）=2sin（5x+φ）（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0），可得$\frac{5π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，则φ=$\frac{π}{6}$．
现将函数f（x）=2sin（5x+$\frac{π}{6}$）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍，（纵坐标不变），
得到函数g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再将函数g（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数h（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2sinx的图象．
若h（α）=2sinα=-$\frac{2}{3}$ （-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），∴sinα=-$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$；-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．