Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$（x∈R），点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的两个点，且x₁+x₂ =1．
（1）求y₁+y₂ 的值；
（2）若记S_m=f（$\frac{1}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{3}{m}$）+…+f（$\frac{m}{m}$）（m∈N^*），求S_m；
（3）若不等式$\frac{{a}^{m}}{{S}_{m}}$＜$\frac{{a}^{m+1}}{{S}_{m+1}}$对于m∈N^*都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件证明f（x₁）+f（1-x₁）=$\frac{1}{2}$．即可．
（2）利用结论f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$．以及倒序相加法进行求和即可．
（3）由$\frac{{a}^{m}}{{S}_{m}}＜\frac{{a}^{m+1}}{{S}_{m+1}}$，得12a^m（$\frac{1}{3m-1}$-$\frac{a}{3m+2}$）＜0对m∈N⁺恒成立．由此利用分类讨论思想能够求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{1}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{x}}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{2}{2•{4}^{x}+4}$+$\frac{{4}^{x}}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{2+{4}^{x}}{4+2•{4}^{x}}=\frac{2+{4}^{x}}{2（2+{4}^{x}）}$=$\frac{1}{2}$，
∵x₁+x₂ =1．
∴x₂ =1-x₁．
则y₁+y₂ =f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁）=$\frac{1}{2}$．
（1）由（1）知f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，则f（0）=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{1}{4+2}$=$\frac{1}{6}$，
则S_m=f（$\frac{1}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{3}{m}$）+…+f（$\frac{m}{m}$）=f（$\frac{1}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{3}{m}$）+…+f（$\frac{m-1}{m}$）+f（1），
同时S_m=f（1）+f（$\frac{m-1}{m}$）+…+f（$\frac{3}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{1}{m}$），
等式相加得2S_m=2f（1）+（m-1）[f（$\frac{m-1}{m}$）+f（$\frac{1}{m}$）]=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$（m-1）=$\frac{1}{2}m-\frac{1}{6}$，
即S_m=$\frac{1}{4}$m-$\frac{1}{12}$．
（3）由（2）知S_m=$\frac{1}{4}$m-$\frac{1}{12}$．
则不等式$\frac{{a}^{m}}{{S}_{m}}$＜$\frac{{a}^{m+1}}{{S}_{m+1}}$等价为$\frac{{a}^{m}}{\frac{1}{4}m-\frac{1}{12}}$＜$\frac{{a}^{m+1}}{\frac{1}{4}（m+1）-\frac{1}{12}}$，
得12a^m（$\frac{1}{3m-1}$-$\frac{a}{3m+2}$）＜0…①对m∈N⁺恒成立．
显然，a≠0，
（ⅰ）当a＜0时，由$\frac{1}{3m-1}-\frac{a}{3m+2}＞0$，得a^m＜0．
而当m为偶数时a^m＜0不成立，所以a＜0不合题意；
（ⅱ）当a＞0时，因为a^m＞0，
则由式①得，$a＞\frac{3m+2}{3m-1}=1+\frac{3}{3m-1}$．
又$\frac{3}{3m-1}$随m的增大而减小，
故，当m=1时，1+$\frac{3}{3m-1}$有最大值$\frac{5}{2}$，
故a$＞\frac{5}{2}$．

点评 本题考查函数值的计算，不等式恒成立，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意倒序相加法、分类讨论思想的灵活运用．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．