用符号“∈ 或“∉ 填空:(1)$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$∈{x|x≤2+$\sqrt{3}$},(2)3∉{x|x=n2+1.n∈N},(3)x=$\frac{1}{3-5\sqrt{2}}$.y=3+$\sqrt{2}$π.M={m|m=a+b$\sqrt{2}$.a∈Q.b∈Q}.则x∈M.y∉M．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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题目内容

15．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）

$\sqrt{2}$ +

$\sqrt{5}$ ∈{x|x≤2+

$\sqrt{3}$ }；
（2）3∉{x|x=n²+1，n∈N}；
（3）x=

$\frac{1}{3-5\sqrt{2}}$ ，y=3+

$\sqrt{2}$ π，M={m|m=a+b

$\sqrt{2}$ ，a∈Q，b∈Q}，则x∈M，y∉M．

分析（1）通过比较 $（\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}$ 与 $（2+\sqrt{3}）^{2}$ 大小关系，从而可得出 $\sqrt{2}+\sqrt{5}＜2+\sqrt{3}$ ，从而得出 $\sqrt{2}+\sqrt{5}∈\{x|x≤2+\sqrt{3}\}$ ；
（2）只需令3=n²+1，解出的n是否是自然数即可；
（3）将x，y都写成 $m=a+b\sqrt{2}$ 的形式，然后判断是否满足a∈Q，b∈Q即可；

解答解：（1） $（\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}=7+2\sqrt{10}$ ， $（2+\sqrt{3}）^{2}=7+4\sqrt{3}$ ；
$2\sqrt{10}＜4\sqrt{3}$ ；
∴ $（\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}＜（2+\sqrt{3}）^{2}$ ；
∴ $\sqrt{2}+\sqrt{5}＜2+\sqrt{3}$ ；
∴ $\sqrt{2}+\sqrt{5}∈\{x|x≤2+\sqrt{3}\}$ ；
（2）令n²+1=3，则n²=2；
∵n∈N；
∴3∉{x|x=n²+1，n∈N}；
（3） $x=\frac{3+5\sqrt{2}}{（3-5\sqrt{2}）（3+5\sqrt{2}）}=-\frac{3}{41}-\frac{5}{41}•\sqrt{2}$ ；
∵ $-\frac{3}{41}∈Q，-\frac{5}{41}∈Q$ ；
∴x∈M；
y= $3+π•\sqrt{2}$ ，π∉Q；
∴y∉M．
故答案为：∈，∉，∈，∉．

点评考查要比较两个无理数的大小可通过平方的方法，描述法表示集合的定义，判断元素与集合关系的方法．

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