Question

11．已知函数f（x）=ax²-6x+blnx在x=2和x=4时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由题意可得f′（2）=0，且f′（4）=0，解方程可得a，b；
（2）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程．

解答 解：（1）定义域为（0，+∞），f′（x）=2ax-6+$\frac{b}{x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=4a-6+\frac{b}{2}=0}\\{f′（4）=8a-6+\frac{b}{4}=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=8，经检验a=$\frac{1}{2}$，b=8符合题意；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+8lnx，
f′（x）=x-6+$\frac{8}{x}$，
f（x）在x=1处的切线斜率为k=f′（1）=1-6+8=3，
切点为（1，-$\frac{11}{2}$），
则f（x）在x=1处的切线方程为y+$\frac{11}{2}$=3（x-1），
即为6x-2y-17=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和极值，主要考查导数的几何意义和极值点的意义，属于中档题．