题目内容
1.△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$.(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若c=2,求a2+b2的取值范围.
分析 (I)由$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$,代入tan(A+B)=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$,利用诱导公式、三角形内角和定理即可得出.
(II)由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC,利用基本不等式的性质即可得出.
解答 解:(I)∵$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$,∴tan(A+B)=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}(tanAtanB-1)}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$,
∴tan(π-C)=-$\sqrt{3}$,化为tanC=$\sqrt{3}$,∵C∈(0,π),∴$C=\frac{π}{3}$.
(II)由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC,
∴4=a2+b2-ab≥${a}^{2}+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$,∴a2+b2≤8,当且仅当a=b是取等号.
又a2+b2>4,
∴(a2+b2)∈(4,8].
点评 本题考查了诱导公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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