Question

2．定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．若已知正数数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{2014}{b}_{2015}}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2014}$
• B． $\frac{1}{2015}$
• C． $\frac{2013}{2014}$
• D． $\frac{2014}{2015}$

Answer 1

分析 通过正数数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，可知a_n=4n-1，进而b_n=n，通过裂项可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即可．

解答 解：∵正数数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，
∴正数数列{a_n}的前n项和为n（2n+1）=2n²+n，
∴正数数列{a_n}的前n+1项和为（n+1）[2（n+1）+1]=2n²+5n+3，
∴a_n+1=（2n²+5n+3）-（2n²+n）=4（n+1）-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2+1}$，即a₁=3满足上式，
∴a_n=4n-1，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=$\frac{4n-1+1}{4}$=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{2014}{b}_{2015}}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$
=1-$\frac{1}{2015}$
=$\frac{2014}{2015}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．