Question

13．已知a是实数，记函数f（x）=2ax²+2x-3在区间[-1，1]上的最小值为g（a），求g（a）的函数解析式．

Answer 1

分析 a=0时，函数f（x）是一次函数，求出g（a）即可，a≠0时，函数f（x）是二次函数，通过讨论a＞0，a＜0的情况，得到函数f（x）的单调性，从而求出g（a）的表达式．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=2x-3，函数f（x）在[-1，1]上单调递增，f（x）的最小值是f（-1）=-5，
∴a=0时，g（a）=-5；
（2）a≠0时，函数f（x）的对称轴x=-$\frac{1}{2a}$，
①当a＞0时，x=-$\frac{1}{2a}$＜0，
若-$\frac{1}{2a}$≤-1，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在[-1，1]单调递增，
∴g（a）=f（-1）=2a-5，
若-1＜-$\frac{1}{2a}$＜0，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在[-1，-$\frac{1}{2a}$）递减，在（-$\frac{1}{2a}$，1]递增，
∴g（a）=f（-$\frac{1}{2a}$）=-$\frac{1}{2a}$-3，
②当a＜0时，x=-$\frac{1}{2a}$＞0，f（x）=2ax²+2x-3开口向下，-1到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，
故g（a）=f（-1）=2a-5，
综上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-5，a≤\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2a}-3，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数，二次函数的性质，考查求函数的最值问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．