Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点O到直线的距离为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点T在圆上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在满足条件的直线，其方程为.

【解析】

（1）根据条件列方程组，解得即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得B点坐标，再根据条件得T点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果.

解：（1）由椭圆的一个焦点为知:，即.①.

又因为直线的方程为，即，所以.

由①解得.

故所求椭圆的标准方程为.

（2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，

于是可设直线的方程为，

由，得.（*）

因为点是直线与椭圆的一个交点，且

所以，所以，

即点.

所以，即.

因为点在圆上，所以，

化简得，解得，所以.

经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意.

故存在满足条件的直线，其方程为.