Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线l的方程为

【解析】

（1）根据椭圆的几何性质求得，；

（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程．

解：（1）椭圆C的离心率为，，

，即

椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为，

，，从而得，

椭圆C的方程为；

（2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k，

直线l的方程为，即，

直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：

且该方程显然有二不等根，

记A，B两点的坐标依次为，，

，即，

，解得，

所求直线l的方程为．