题目内容
【题目】已知顶点在原点，焦点在
轴上的抛物线
过点
.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）斜率为
的直线
与抛物线交于
、
两点，点
是线段
的中点，求直线的方程，并求线段的长.
【答案】（1）
（2）直线
的方程为：
，线段
的长为
.
【解析】
(1)点的坐标代入抛物线方程即可求得p，从而得到抛物线方程；(2)设出直线方程且与抛物线方程联立求出
，
的表达式，根据
为的中点列出方程求出k，即可求得直线方程及、的值，代入弦长公式
即可得解.
（1）由题意知，抛物线开口向右，设方程为
.
∵
在抛物线上，∴
，
，∴抛物线
的方程为.
（2）由题意，设直线的方程为：
，
联立，消
得
.
由已知，
，
. ①
设
，
，则
，
.
∵为的中点，∴
，
解得
，代入①式检验，得
，符合题意.
∴直线的方程为：.
此时，
，
，
∵
，
∴
.
∴直线的方程为：，线段的长为.
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