题目内容
【题目】已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线
过点
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)斜率为的直线
与抛物线
交于
、
两点,点
是线段
的中点,求直线
的方程,并求线段
的长.
【答案】(1)(2)直线
的方程为:
,线段
的长为
.
【解析】
(1)点的坐标代入抛物线方程即可求得p,从而得到抛物线方程;(2)设出直线方程且与抛物线方程联立求出,
的表达式,根据
为
的中点列出方程求出k,即可求得直线方程及
、
的值,代入弦长公式
即可得解.
(1)由题意知,抛物线开口向右,设方程为.
∵在抛物线上,∴
,
,∴抛物线
的方程为
.
(2)由题意,设直线的方程为:
,
联立,消
得
.
由已知,,
. ①
设,
,则
,
.
∵为
的中点,∴
,
解得,代入①式检验,得
,符合题意.
∴直线的方程为:
.
此时,,
,
∵,
∴.
∴直线的方程为:
,线段
的长为
.
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