题目内容
【题目】已知函数
，
.
（Ⅰ）求证：曲线
与
在
处的切线重合；
（Ⅱ）若
对任意
恒成立.
（1）求实数
的取值范围；
（2）求证：
（其中
）.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（1）
（2）见解析
【解析】
（Ⅰ）先对函数
求导，得到
，再由
，根据直线的点斜式方程即可求出
在点
处的切线方程；另外同理求出
在处的切线方程，即可得出结论成立；
（Ⅱ）（1）先令
，对函数
求导，通过讨论
与
、研究函数的单调性，即可得出结果；
（2）先由（1）得到当
时，
恒成立，得
，
分别令
得
个不等式相加得
，整理化简得到只要证明
即可得出结论成立.
证明:(Ⅰ)
在
处的切线方程为
在处的切线方程为
所以切线重合.
（Ⅱ）（1）令
则
，
① 当时，
当且仅当
时，取等号，
在
递减，
不成立.
②当
时，
，
(i)当时，
时，
，
递减，
，
在
递减， 
不恒成立.
(ii）当时，
，在递增，
，在递增，
，
恒成立.
综上，.
（2）证明：由（1）知当时，恒成立.
得
令得个不等式相加得
下面只要证明
即
再由不等式
令
得
取
得个不等式累加得成立.
故原不等式成立.
练习册系列答案
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【题目】为了检验设备M与设备N的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则
设备M | 设备N | |
生产出的合格产品 | 48 | 43 |
生产出的不合格产品 | 2 | 7 |
附：
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式：
，其中
.
A. 有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择有关
B. 没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择有关
C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择有关
D. 不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择有关
