题目内容
【题目】已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________
【答案】
【解析】
解法一:先求得直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(﹣,0),由﹣
≤0可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标,①若点M和点A重合,求得b=
;②若点M在点O和点A之间,求得
<b<
; ③若点M在点A的左侧,求得
>b>1﹣
.再把以上得到的三个b的范围取并集,可得结果.
解法二:考查临界位置时对应的b值,综合可得结论.
解法一:由题意可得,三角形ABC的面积为 =1,
由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(﹣,0),
由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,
故﹣≤0,故点M在射线OA上.
设直线y=ax+b和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为(
,
).
①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,故N(,
),
把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b,求得a=b=.
②若点M在点O和点A之间,此时b>,点N在点B和点C之间,
由题意可得三角形NMB的面积等于,
即=
,即
=
,可得a=
>0,求得 b<
,
故有<b<
.
③若点M在点A的左侧,则b<,由点M的横坐标﹣
<﹣1,求得b>a.
设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由 求得点P的坐标为(
,
),
此时,由题意可得,三角形CPN的面积等于,即
(1﹣b)|xN﹣xP|=
,
即(1﹣b)|
﹣
|=
,化简可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.
由于此时 b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2 .
两边开方可得 (1﹣b)=
<1,∴1﹣b<
,化简可得 b>1﹣
,
故有1﹣<b<
.
再把以上得到的三个b的范围取并集,可得b的取值范围应是 ,
解法二:当a=0时,直线y=ax+b(a>0)平行于AB边,
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=
,b=1﹣
由于a>0,∴b>1﹣.
当a逐渐变大时,b也逐渐变大,
当b=时,直线经过点(0,
),再根据直线平分△ABC的面积,故a不存在,故b<
.
综上可得,1﹣<b<
,
故答案为:.
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