题目内容
【题目】已知抛物线,过定点
作不垂直于x轴的直线
,交抛物线于A,B两点.
(1)设O为坐标原点,求证:为定值;
(2)设线段的垂直分线与x轴交于点
,求n的取值范围;
(3)设点A关于x轴的对称点为D,求证:直线过定点,并求出定点的坐标.
【答案】(1)见解析;(2);(3)定点为
。
【解析】
(1)设直线的方程为
,直线方程与抛物线方程联立消元得
的二次方程,判别式
,设
,由韦达定理得
,计算
并代入
即得;
(2)写出线段的垂直平分线方程,令
求出
,利用
可得
的范围.
(3)求出点坐标,求出直线
方程,把
分别用
代入并化简,然后再代入(1)中的
,整理后可知直线
过定点.
(1)设过点的直线
的方程为
,由
得
,
设,则
,
∴为定值;
(2)由(1)知的中点坐标为
,则
的中垂线方程为:
,令
得
,
又,即
,∴
。
(3)点A关于x轴的对称点为,则直线
方程为:
,
整理得,
而,
∴直线方程为
,
∴直线过定点,定点为
。
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