题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数在区间上存在极值,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,对任意恒有,求实数的取值范围。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)求出导函数得到斜率,利用点斜式得到切线方程;
(Ⅱ)求出函数的极值,再探讨函数在区间 (m,m)(其中a>0)上存在极值,寻找关于m的不等式,求出实数m的取值范围;
(Ⅲ)先求导,再构造函数h(x)=lnx,求出h(x)的最大值小于0即可.
解:(I).
故切线的斜率为,又f(e)=
∴切线方程为:,即
(II).当时,
当x>l时,
f(x)在(0,1)上单调递增,在(1.+)上单调递减。
故f(x)在x=l处取得极大值。
∵f(x)在区间(m,m+)(m>0)上存在极值,
∴0<m<1且m+>1,解得
(Ⅲ).由题可知.a≠0,且
,
,
当a<0时,g(x)>0.不合题意。
当a>0时,由可得恒成立
设,则
求导得:
设
①当0<a≤l时,△≤0,此时:
∴h(x)在(0,1)内单调递增,又h(l)=0,所以h(x)<h(l)=0.
所以0<a≤l符合条件.
②当a>1时,△>0,注意到t(0)=1,t(1)=4(1-a)<0,存在xo(0,1),使得t(x0)=0,
于是对任意,t(x)<0,h’(x)<0.则h(x)在(xo,1)内单调递减,又h(l)=0,所以当时,h(x)>0,不合要求,
综合①②可得0<a≤1
练习册系列答案
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工艺要求 | 产品甲 | 产品乙 | 生产能力(工时/天) |
制白胚工时数 | 6 | 12 | 120 |
油漆工时数 | 8 | 4 | 64 |
单位利润 | 20元 | 24元 |
则该公司合理安排这两种产品的生产,每天可获得的最大利润为______.