题目内容
【题目】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次拓展.如数列1,2,经过第1次拓展得到数列1,3,2;经过第2次拓展得到数列1,4,3,5,2;设数列a,b,c经过第n次拓展后所得数列的项数记为,所有项的和记为
.
(1)求,
,
;
(2)若,求n的最小值;
(3)是否存在实数a,b,c,使得数列为等比数列,若存在,求a,b,c满足的条件;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
;(2)10;(3)存在,
且
.
【解析】
(1)根据原有的项数,确定每次拓展增加的项数,由此求得的值.
(2)根据拓展的方法,确定和
的递推关系式,利用配凑法求得
的通项公式,解不等式
求得
的最小值.
(3)根据拓展的方法,确定和
的递推关系式,通过假设
成等比数列,得到
且
,此时
,即数列
为等比数列.
(1)因原数列有3项,经第1次拓展后的项数;
经第2次拓展后的项数;
经第3次拓展后的项数.
(2)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项,
由数列经第次拓展后的项数为
,则经第
次拓展后增加的项数为
,
所以,
所以,
由(1)知,所以
,∴
,
由,即
,解得
,
所以的最小值为10.
(3)设第次拓展后数列的各项为
,
所以,
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和,
所以,
即,所以
,
得,
,
,
因为数列为等比数列,所以
,可得
,
则,由
得
,
反之,当且
时,
,
,
,所以数列
为等比数列,
综上,满足的条件为
且
.
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练习册系列答案
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【题目】某家具公司生产甲、乙两种书柜,制柜需先制白胚再油漆,每种柜的制造白胚工时数、油漆工时数的有关数据如下:
工艺要求 | 产品甲 | 产品乙 | 生产能力(工时/天) |
制白胚工时数 | 6 | 12 | 120 |
油漆工时数 | 8 | 4 | 64 |
单位利润 | 20元 | 24元 |
则该公司合理安排这两种产品的生产,每天可获得的最大利润为______.